ネット用語の「つ」は誰かに物を差し出している手の意味があり、例えば「つ旦」はお茶を差し出している（渡している）様子を表現しています。

左の「つ」が手、右の「旦」はお盆に乗った湯飲み茶碗に見立てていて、「お茶をどうぞ」という意味合いになります。
より気持ちを表現する方法として、「( ・∀・)つ旦　お茶ﾄﾞｿﾞｰ」のように左右に顔文字や文字を書いたり、「（｀ー´）つ毒」いたずらっぽい顔と毒を渡したりも出来ます。

また、大きい「つ」だけでなく小さい「っ」に、数学の世界で使われるで記号「⊃」(真部分集合)が使われる事もあります。

つの使い方の例として、以前掲示板などでよく見かけたものをピックアップしました。
現在では掲示板で頻繁に見かける事はありませんが、時々目にすることもあります。

• つ旦
• ( ´∀｀)つθθθ鎮静剤ﾄﾞｿﾞｰ
• つ【ここでボケて】　（【】はボードの意味なのでカンペを差し出しています）
• ( ´￢｀)つ─━━━━　ﾎﾟｯｷｰﾄﾞｫｿﾞ
• (*ﾟ∀ﾟ)つ＝lニニフ　包丁
• (*ﾟДﾟ)つ-Oﾛ|>-　おでん
• (　・∀・)つ(:ﾟ::)　ﾐｶﾝどうぞ

ネット用語として古くから2ちゃんねる（現・5ch）で使われており、知る限りでも2000年代前半頃からはすでに書き込みがされています。
現在ではツイッターなどのSNSであったり、ニコ生などの生配信サイトのコメントで時々見かける事がありますが、ネットをしない人には全くと言っていいほど通じませんし、ネットはもちろんSNSのユーザーでもある程度使いこなしている方でないと知らない程度の知名度のため、使っても相手に「つ」の意味が理解されないかもしれません。